Youssef Nejjari TS limites de suites Bilan

Énoncé

Soient et deux suites numériques e, définies pour tout entier par : et .

1- Exprimer en fonction de puis calculer .

2- Montrer que pour tout entier .

donc (1)

pour on a et d’ou donc (2)

d’après (1) et (2) on en déduit que .

Soient et deux suites telles que , et pour tout entier n,

et .

1- a- Montrer que : pour tout entier n. (Par récurrence)

1-b- Montrer que est décroissante.

1-c- Déduire que est convergente.

2-a- Montrer que est une suite géométrique et préciser sa raison ainsi que son premier terme.

2-b- Exprimer en fonction de n et déduire en fonction de n.

2-c- Calculer la limite de (Vn).

3- On pose :

3-a- Montrer que : .

3-b- Exprimer en fonction de n puis calculer la limite de .

1-a- On va démontrer que pour tout entier naturel n, on a : .

Pour n=0 on donc .

Supposons que pour un un entier naturel k on a .

Démontrons que ,

On a alors

alors

soit

d’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel n.

1-b- démontrons que est décroissante :

alors , et

donc c’est-à-dire

finalement on en déduit que est décroissante.

1-c-

Puisque est une suite croissante et majorée par 2 donc (Un) converge.

2-a-

donc est une suite géométrique de raison

le premier terme de cette suite est :

2-b- (Un) et (Vn) en fonction de n.

est une suite géométrique de raison

alors

et puisque alors

donc

2-c-

3- a-

3-b