Soit la suite définie par
et pour tout entier naturel
, par
.
Si est la fonction définie sur l’intervalle
par
alors on a, pour tout nombre entier naturel
,
.
On donne en annexe (à rendre avec la copie) une partie de la courbe représentative de la fonction
ainsi que la droite
d’équation
.
1. a) Sur l’axe des abscisses, placer puis construire
,
et
en laissant apparents les traits de construction.
b) Quelles conjectures peut-on émettre sur le sens de variation et sur la convergence de la suite ?
2. a) Démontrer par récurrence que, pour tout nombre entier naturel , on a
.
b) Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
Valider par une démonstration les conjectures émises à la question 1.b.
3. Dans cette question, on se propose d’étudier la suite par une autre méthode, en déterminant une expression de
en fonction de
.
Pour tout nombre entier naturel , on pose
.
a) Démontrer que la suite est une suite arithmétique de raison
.
b) Pour tout nombre entier naturel , exprimer
en fonction de
.
c) En déduire la limite de la suite .